Nachtermin Teil A

Teilaufgabe a

Berechnung von $\overline{\mathrm{AC}}$

1) Berechne zunächst den Winkel $\mathrm{CMA}$:

$\begin{array}{l}\sphericalangle \mathrm{CMA}={180}^{\circ }-\sphericalangle \mathrm{BMC}={180}^{\circ }-{58}^{\circ }={122}^{\circ }\end{array}$

2) Der Winkel $\mathrm{CMA}$ liegt der Seite $\overline{AC}$ gegenüber, mit dem Kosinussatz kannst Du die Seite $\overline{AC}$ berechnen:

$\begin{array}{rcl}{\overline{\mathrm{AC}}}^2& =& {\overline{\mathrm{AM}}}^2+{\overline{\mathrm{MC}}}^2-2\cdot \overline{\mathrm{AM}}\cdot \overline{\mathrm{MC}}\cdot \cos \sphericalangle \mathrm{CMA}\\ & =& (2\text{cm}{)}^2+(4\text{cm}{)}^2-2\cdot 2\text{cm}\cdot 4\text{cm}\cdot \cos {122}^{\circ }\\ & =& 4{\text{cm}}^2+16{\text{cm}}^2-16{\text{cm}}^2\cdot \cos {122}^{\circ }\\ & =& 20{\text{cm}}^2-16{\text{cm}}^2\cdot (-\mathrm{0,53})\\ & =& \mathrm{28,48}{\text{cm}}^2\end{array}$

Ziehe nun die Wurzel. Da $[AC]$ eine Länge ist, kannst das negative Ergebnis vom Wurzelziehen weggelassen werden.

$\overline{\mathrm{AC}}=$ $\sqrt{\mathrm{28,48}{\text{cm}}^2}=\mathrm{5,34}\text{cm}$

3) Jetzt kannst Du mit dem Sinussatz den Winkel $\mathrm{MAC}$ berechnen:

$${\displaystyle \frac{\overline{MC}}{\sin \sphericalangle \mathrm{MAC}}=\frac{\overline{AC}}{\sin \sphericalangle \mathrm{CMA}}}$$

Umgestellt ergibt sich:

$$\begin{array}{rcl}\sin \sphericalangle \mathrm{MAC}& =& {\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{CMA}}{\overline{AC}}\cdot \overline{MC}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{\sin 122°}{\mathrm{5,34}\text{cm}}\cdot 4\text{cm}}\end{array}$$

$$\sphericalangle \mathrm{MAC}={\sin }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\sin 122°}{\mathrm{5,34}}\cdot 4}\right)\approx \mathrm{39,44}°$$

$\sphericalangle \mathrm{MAC}=\sphericalangle \mathrm{BAC}\approx {\mathrm{39,44}}^{\circ }.$

Hinweis: der Wert in der Zeichnung weicht vom errechneten Ergebnis ab, da wir bei 2) gerundet haben. Alle drei Werte werden als korrekt bewertet.

Teilaufgabe b

Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Kreisbogen $\stackrel{⌢}{B}$ und den Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$.

Die Länge des Kreisbogens wird bestimmt durch den Radius des Kreissektors und seinem Winkel:

$\begin{array}{rcl}\stackrel{⌢}{B}& =& {\displaystyle \frac{2r\cdot \pi \cdot \sphericalangle BMC}{{360}^{\circ }}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{2\cdot 4\text{cm}\cdot \pi \cdot {58}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1456,96}}{360}}\text{cm}\\ & & \\ & \approx & \mathrm{4,05}\text{cm}\end{array}$

Nun addierst du nur noch die drei Längen und erhältst den Umfang $u$:

$u=\overline{AB}+\overline{AC}+\stackrel{⌢}{B}$

$\phantom{u}=6\text{cm}+\mathrm{5,34}\text{cm}+\mathrm{4,05}\text{cm}=\mathrm{15,39}\text{cm}$

Teilaufgabe a

Das Dreieck $OP{Q}_1$ ist nicht gleichseitig. Beweis über drei rechtwinklige Dreiecke und mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

Teilaufgabe b

Maß des Winkels $\measuredangle PO{Q}_1$ mit Hilfe des Kosinussatzes:

Bemerkung: Alternativ können wir die Steigungen der Strecken $\overline{OP}$ und $\overline{O{Q}_1}$ berechnen und benutzen, dass diese Werte jeweils der Tangens des Winkels mit der $x$-Achse sind. Wir erhalten die Winkel ${\epsilon }_1={45}^{\circ }$ und ${\epsilon }_2=-{\mathrm{18,43}}^{\circ }$, die Differenz ist der gesuchte Winkel.

Teilaufgabe c

Flächeninhalt A des Dreiecks $OP{Q}_1$ in Abhängigkeit von x mit Hilfe von Vektoren:

Teilaufgabe d

Wenn das Dreieck $OP{Q}_n$ ein rechtwinkliges Dreieck sein soll, mit Hypotenuse [OP], muss $Q_n$ auf dem Thaleskreis liegen:

Da die Kreislinie nie die Funktion schneidet, kann es keinen Punkt $Q_n$ geben, sodass ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden kann.

Lösung Aufgabe a

Um auf die Länge der Strecke $\overline{MK}$ zu kommen, benötigst du den Vierstreckensatz.

Ausgehend vom Zentrum $S$, kannst du die "kurzen" Längen $\overline{KS}$ und $\overline{CJ}$ mit $\overline{MS}$ und $\overline{AB}$ ins Verhältnis setzen:

$${\displaystyle \frac{\stackrel{{\displaystyle \overline{KS}}}{\overbrace{\overline{MS}-\overline{MK}}}}{\overline{CJ}}=\frac{\overline{MS}}{\overline{AB}}}$$

Umgestellt nach $\overline{MS}-\overline{MK}$ergibt sich:

$${\displaystyle \overline{MS}-\overline{MK}=\frac{\overline{MS}}{\overline{AB}}\cdot \overline{CJ}.}$$

Nun kannst du einsetzen:

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \mathrm{4,5}\text{cm}-\overline{MK}}& =& \frac{\mathrm{4,5}\text{cm}}{\mathrm{7,5}\text{cm}}\cdot 4\text{cm}\\ \mathrm{4,5}\text{cm}-\overline{MK}& =& \mathrm{2,4}\text{cm}\\ \overline{MK}& =& \mathrm{2,1}\text{cm}\end{array}$$

Die Oberfläche des Kerzenständers besteht aus verschiedenen Elementen:

1) Der Mantelfläche des Kegelstumpfs,

2) dem Mantel des "großen", äußeren Zylinders,

3) dem Mantel des "kleinen", inneren Zylinders und

4) zwei Kreisflächen.

1) Zuerst berechnest du die Mantelfläche des Kegelstumpfs.

Da die Formel zur Berechnung $M_{\text{Kegel}}=r\cdot m\cdot \pi$ lautet, wobei $m$ die Mantellinie ist, musst du zunächst die Längen der beiden Mantellinien bestimmen:

$m_{\text{Kegel groß}}=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{{\mathrm{3,75}}^2+{\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{5,9}\text{cm}$

und

$m_{\text{Kegel klein}}=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2^2+{\mathrm{2,4}}^2}=\mathrm{3,1}\text{cm}.$

Nun kannst du die Mantelfläche des "kleinen" vom "großen" Kegel abziehen:

$\begin{array}{rcl}{M}_{\text{Kegelstumpf}}& =& M_{\text{Kegel groß}}-M_{\text{Kegel klein}}\\ & & \\ & =& \mathrm{3,75}\text{cm}\cdot \mathrm{5,9}\text{cm}\cdot \pi -2\text{cm}\cdot \mathrm{3,1}\text{cm}\cdot \pi \\ & & \\ & \approx & \mathrm{50,03}{\text{cm}}^2\end{array}$

2) Dann berechnest du die Mantelfläche des "äußeren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $2\text{cm}$ und die Höhe $\mathrm{2,4}\text{cm}$.

Aus $M_{Zylinder}=u\cdot h\cdot \pi =2\cdot r\cdot h\cdot \pi$ ergibt sich

$M_{\text{Zylinder groß}}=2\cdot 2\cdot \mathrm{2,4}\cdot \pi =\frac{48}{5}\pi \text{cm}\approx \mathrm{30,16}{\text{cm}}^2.$

3) Genauso berechnest du die Mantelfläche des "inneren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $\mathrm{0,75}\text{cm}$ und die Höhe $2\text{cm}$.

Dadurch erhältst du

$M_{\text{Zylinder klein}}=2\cdot \mathrm{0,75}\cdot 2\cdot \pi =3\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{9,42}{\text{cm}}^2.$

4) Die Kreisflächen sind einerseits der "Fuß" des großen Kegels, also ein Kreis mit Radius $\mathrm{3,75}\text{cm}$.

Setzte dies in die Kreisformel ein, und du erhältst

$A_{\text{Kreis unten}}=r^2\cdot \pi ={\mathrm{3,75}}^2\cdot \pi \approx \mathrm{44,18}{\text{cm}}^2.$

Die beiden Flächen oben, ein Kreisring und ein kleiner Kreis, ergänzen sich zu einem Kreis mit Radius $2\text{cm}$:

$A_{\text{Kreis oben}}=r^2\cdot \pi =2^2\cdot \pi =4\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{12,57}{\text{cm}}^2.$

In der Summe erhältst du also

$O_{\text{Kerzenständer}}=(\mathrm{50,03}+\mathrm{30,16}+\mathrm{9,42}+\mathrm{44,18}+\mathrm{12,57}){\text{cm}}^2\approx \mathrm{146,4}{\text{cm}}^2$

Hinweis: Werden die Oberflächeninhalte auf eine Stelle nach dem Komma gerundet, erhält man auch das Ergebnis $\mathrm{146,4}{\text{cm}}^2$.